Comment Savoir Si Un Nombre Est Divisible Par 6

Ceci est une liste de critères de divisibilité pour des nombres écrits en base décimale, premiers ou puissances de nombre premier, inférieurs à 100.

Ces critères sont exposés sans démonstration. Cascade les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article « Critère de divisibilité ».

Pour la divisibilité par united nations nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers n = p _ane ^{1000 ₁} …p_r ^k_r , il suffit d'appliquer la règle générale : un nombre est divisible par n si et seulement south'il est divisible par chacun des p_i ^thousand_i . Par exemple : un nombre est divisible par 12 si et seulement s'il est divisible par 3 et par 4.

Dans tout cet commodity, un entier naturel de northward + 1 chiffres est représenté par a_n…a _ane a ₀ , où a ₀ est le chiffre des unités, a _i des dizaines, a _ii des centaines,etc.

Critère de divisibilité par 2, 5 ou 10 élevés à une puissance n [modifier | modifier le code]

Tout nombre entier est divisible par 1.

Critère de divisibilité par 2 ^northward [modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 2 ⁿ si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par ii ⁿ .

Exemples

United nations nombre est divisible par 16 = 2^four si et seulement si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.

Un nombre est divisible par 32 = 2^five si et seulement si le nombre formé par ses 5 derniers chiffres est divisible par 32.

Application : 87 753 216 864 est divisible par 32 car xvi 864 est divisible par 32.

Critère de divisibilité par 5 ⁿ [modifier | modifier le code]

United nations nombre est divisible par 5 ⁿ si et seulement si ses n derniers chiffres forment united nations nombre divisible par 5 ^{due north} .

Exemples

United nations nombre est divisible par 25 = 5² si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25, c'est-à-dire si son écriture « se termine » par 00, 25, l ou 75.

Application : 258 975 est divisible par 25 auto il se termine par 75.

257 543 625 est divisible par 5ⁱⁱⁱ = 125 auto 625 est divisible par 125.

Critère de divisibilité par 10 ⁿ [modifier | modifier le code]

Pour northward non nul, un nombre est divisible par ten ⁿ si et seulement si ses northward derniers chiffres sont égaux à 0.

Exemple

652 500 000 est divisible par ten⁵ automobile ses 5 derniers chiffres sont des 0.

652 fifty est divisible par 10^ane automobile son dernier chiffre est un 0.

Entiers inférieurs à 10 [modifier | modifier le code]

Divisibilité par :	Énoncé du critère :	Exemple :
2	Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par two = ii1, si et seulement si son chiffre des unités est 0, two, four, 6 ou 8.	168 est pair auto il se termine par viii qui est pair.
iii	Un nombre est divisible par three si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par three. (Par récurrence, cela implique que son résidu est 3, half dozen, ou 9.)	168 est divisible par 3 car 1 + 6 + 8 = 15, i + v = half-dozen et 6 est divisible par three.
4	Un nombre est divisible par 4 = 22 si et seulement si 2a ane + a 0 est divisible par 4.	two 548 est divisible par four motorcar 2 × iv + 8 = 16 qui est divisible par 4.
5	Un nombre est divisible par 5 = 51 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.	235 est divisible par five car il se termine par 5.
vi	Un nombre est divisible par 6 si et seulement south'il est divisible par two et par 3.	168 est divisible par 6, automobile il est pair et divisible par 3.
vii	an…a 1 a 0 est divisible par seven si et seulement si an…a 1 – twoa 0 l'est (pour d'autres critères, voir section suivante).	182 est divisible par 7 automobile 18 – 2 × 2 = 14 l'est.
8	Un nombre est divisible par 8 = 23 si et seulement si 4a 2 + 2a 1 + a 0 est divisible par eight.	636 136 est divisible par eight automobile four × ane + 2 × 3 + 6 = 16 qui est divisible par viii.
nine	Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.	423 est divisible par 9 car 4 + 2 + 3 = 9 l'est.
10	Un nombre est divisible par 10 = xone si et seulement si son chiffre des unités est 0.	270 est divisible par x car il se termine par 0.

Critères de divisibilité par vii [modifier | modifier le code]

Lemmes de divisibilité par 7 [modifier | modifier le code]

Première méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 56 (= seven × viii). Le nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat last l'est.

Exemple

17 381 est divisible par vii car

1738 + 5 × 1 = 1743,

174 + v × 3 = 189,

18 + 5 × 9 = 63 et

half-dozen + v × three = 21 = 7 × 3.

Deuxième méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités l'est. Si cette différence est négative, on peut la remplacer par sa valeur absolue. En répétant cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à fourteen, le nombre de départ est divisible par vii si et seulement si le résultat final est 0 ou 7.

Exemple

17 381 est divisible par 7 car

1738 – 2 × 1 = 1736,

173 – two × 6 = 161,

sixteen – 2 × 1 = fourteen et

|1 – ii × iv| = vii.

Critère pour un one thousand nombre [modifier | modifier le lawmaking]

Une méthode, basée seulement sur le fait que 10³ est congru à –1 modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par vii si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple

Soit le nombre 5 527 579 818 992.

On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :

five | 527 | 579 | 818 | 992.

On intercale alternativement des – et des + :

5 – 527 + 579 – 818 + 992.

On effectue l'opération ainsi écrite :

v – 527 + 579 – 818 + 992 = 231.

On regarde si 231 est divisible à fifty'aide du lemme de divisibilité par seven :

23 + 5 × one = 28 est divisible par seven donc 5 527 579 818 992 l'est.

Comme 1001 est le produit de 7, xi et 13, la même méthode southward'applique pour eleven et 13.

Méthode de Toja [modifier | modifier le lawmaking]

Cette méthode est basée sur le fait que 10³ est congru à –1 modulo vii, dont on déduit que

${\displaystyle {\rm {si}}\quad x=100^{thou}b_{thousand}+\ldots +100^{2}b_{2}+100b_{1}+b_{0}\quad {\rm {et}}\quad y=10^{yard}b_{0}-10^{m-1}b_{i}+10^{chiliad-2}b_{two}\ldots +(-1)^{yard}b_{m}}$ ${\displaystyle {\rm {alors}}\quad ten^{thou}x\equiv y{\pmod {7}}}$

donc x est divisible par 7 si et seulement si y l'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque b_i par north'importe quel entier qui lui est congru modulo vii. Le principe ^[1] est donc de découper le nombre x par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de two chiffres et le multiple de vii le plus proche (alternativement par excès et par défaut).

Exemple

Soit le nombre 5 527 579 818 992.

On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :

5|52|75|79|81|89|92.

• À partir de la droite, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 91 : altitude 92 – 91 = ane.
• Cascade la deuxième paire, le multiple de 7 le plus proche par excès est 91 : altitude 91 – 89 = 2.
• Cascade la troisième paire, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 77 : distance 81 – 77 = four
• Cascade la quatrième paire, distance : 84 – 79 = 5,etc.

Le nombre de départ est multiple de seven si et seulement si

one|2|iv|v|5|iv|5

est multiple de vii (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre inverse).

On trouve de même que la divisibilité par 7 de ane 245 545 équivaut à celle de 3 136, puis de 14, donc five 527 579 818 992 est divisible par 7.

Méthode rapide [modifier | modifier le lawmaking]

Comme dans le calcul du nombre modulo seven par la méthode de Toja, on va regrouper les chiffres par groupe de ii, en partant de la droite. Ici on va utiliser le fait que 100 vaut 2 modulo 7.

La première étape, valable d'ailleurs pour toutes les méthodes, consiste à remplacer tous les chiffres par leur valeur modulo 7. Autrement dit à remplacer le 7 par 0, le eight par one, le 9 par ii.

Soit le nombre 5 527 579 818 992.

On le remplace par 5 520 502 111 222.

Dans la deuxième étape on regroupe les chiffres par 2 pour créer des nombres de 0 à 66.

v|52|05|02|11|12|22.

On les calcule modulo seven

5|3|5|2|4|v|1.

C'est 50'écriture du nombre base 2, avec des chiffres de 0 à six. On va utiliser la méthode de Horner : on dépile le chiffre le plus à gauche que fifty'on ajoute au nombre en cours (0 au départ) et on multiplie par 2.

${\displaystyle v\cdot ii+3\rightarrow 3+3\rightarrow vi}$

${\displaystyle 6\cdot ii+five\rightarrow 5+v\rightarrow 10\rightarrow 3}$

${\displaystyle 3\cdot 2+ii\rightarrow 8\rightarrow i}$

${\displaystyle 1\cdot 2+iv\rightarrow 6}$

${\displaystyle 6\cdot 2+5\rightarrow 5+five\rightarrow 10\rightarrow 3}$

${\displaystyle 3\cdot ii+one\rightarrow 7\rightarrow 0}$

Chaque ligne de calcul se fait aisément de tête, et chaque résultat intermédiaire peut être inscrit sur une seconde ligne :

5|3|5|2|4|5|1

5|half-dozen|iii|1|6|3|0

On obtient 0, le nombre est divisible par 7.

Utilisation d'un diagramme [modifier | modifier le code]

Cette technique ^[2] s'appuie sur l'écriture du nombre en base of operations 10 et sur les congruences modulo 7. L'utilisation d'un diagramme est proposée en 2009 par David Wilson ^{[3] , [4]} . Sur united nations cercle, on dispose tous les nombres de 0 à half dozen, c'est-à-dire tous les restes possibles modulo seven. On relie ensuite par une flèche chaque reste r avec le reste modulo seven de r ×ten.

Le diagramme south'utilise alors de la manière suivante : cascade l'entier a_n…a ₁ a ₀ , égal à (…((a_northward × 10 + a _n–1) × 10 + a _north–2) × ten + …) × 10 + a ₀ ,

• on se place sur la case 0 et l'on se déplace sur le cercle de a_{due north} cases. On obtient ainsi le reste de a_n modulo 7 ;
• on emprunte alors la flèche qui function de la case où l'on se trouve et, à partir du signal d'arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de a _n–i cases. On obtient ainsi le reste de a_{due north} × 10 + a _n–1 modulo 7 ;
• on recommence alors le processus (emprunt d'une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu'à a ₀. On obtient alors le reste modulo 7 de (…((a_n × 10 + a _n–1) × 10 + a _{northward–two}) × 10 + …) × 10 + a ₀ .

Le nombre est divisible par 7 si et seulement si la case d'arrivée est la case 0.

Diagramme de divisibilité par 7.

Exemple

Pour le nombre 17381.

• On passe de 0 à 1.
• On emprunte la flèche qui mène de 1 à 3 et l'on se déplace de 7 cases (i. due east. on reste sur place). On se trouve en 3.
• On emprunte la flèche qui mène de three à 2 et l'on se déplace de iii cases. On se trouve en 5.
• On emprunte la flèche qui mène de v à i et l'on se déplace de 8 cases (i. e. on se déplace d'une case). On se trouve en 2.
• On emprunte la flèche qui mène de 2 à 6 et l'on se déplace d'une instance. On se trouve en 0. Le nombre est bien divisible par seven.

Remarque : cette méthode peut se généraliser à toute autre divisibilité par d et à toute autre base b en construisant le diagramme adapté (les nombres de 0 à d – 1 sur le cercle, des flèches reliant r au reste modulo d de r × b).

Critère de divisibilité par 11 [modifier | modifier le code]

Première méthode [modifier | modifier le code]

Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :

• on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
• on calcule la somme B des chiffres en position paire ;

N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par xi.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Exemple [modifier | modifier le code]

Considérons le nombre xix 382.

A = 1 + 3 + 2 = 6

B = 9 + eight = 17

B – A = 17 – half-dozen = xi est divisible par 11 donc 19 382 fifty'est aussi.

On peut également effectuer le calcul : 1 – 9 + 3 – eight + 2 = –eleven.

« Mini-critère » [modifier | modifier le code]

Un nombre de trois chiffres est divisible par xi si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu (a _two + a ₀ = a _ane) ou à eleven plus le chiffre du milieu (a ₂ + a ₀ = eleven + a _i).

Exemples

374 est divisible par xi parce que iii + 4 = seven. Vérification : 374 = 11 × 34.

825 est divisible par eleven parce que eight + five = xi + 2. Vérification : 825 = eleven × 75.

Deuxième méthode [modifier | modifier le code]

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et fifty'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 11 si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent 19 382 ; on obtient :

1 + 93 + 82 = 176.

Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :

1 + 76 = 77.

77 est divisible par eleven donc 19 382 50'est aussi.

Troisième méthode [modifier | modifier le lawmaking]

Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par xi.

Exemples [modifier | modifier le code]

3432 est divisible par eleven car 343-ii = 341, 34-i = 33 et 33 est divisible par 11.

73108 n'est pas divisible par 11 car 7310 - 8 = 7302, 730-two = 728, 72 - eight = 64 et 64 n'est pas un multiple de 11.

Démonstration

Soit due north un entier naturel alors n due south'écrit de manière unique north = 10 a + b où a est le nombre de dizaine et b le chiffre des unités.

n = 11a + b - a et donc n congru à 0 modulo xi est équivalent à b - a congru à 0 modulo eleven.

Critère de divisibilité par 13 [modifier | modifier le code]

Le critère de divisibilité par thirteen [modifier | modifier le code]

Le nombre a_north…a _ane a ₀ est divisible par thirteen si et seulement si a_n…a ₁ + 4a ₀ fifty'est. Pour voir si un nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × 13). Le nombre de départ est divisible par thirteen si et seulement si le résultat final est 13, 26 ou 39.

Exemples

• 312 est divisible par 13 car 31 + 4 × two = 39.
• one 664 est divisible par 13 motorcar 166 + 4 × iv = 182 et 18 + 4 × two = 26.

Critère pour united nations k nombre [modifier | modifier le code]

Pour savoir si united nations grand nombre est divisible par 13, il suffit, puisque 10³ est congru à –1 modulo xiii comme modulo 7, d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et insérer alternativement des – et des + entre les tranches.

On effectue fifty'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par 13 si et seulement si le grand nombre considéré l'était.

Exemple

Soit le nombre 1 633 123 612 311 854.

On le sépare par tranches de trois à partir des unités :

ane | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.

On intercale alternativement des – et des + :

1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854.

On effectue l'opération ainsi écrite :

1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854 = –1 664.

Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1 664 et continuer.

D'après fifty'exemple précédent, 1 664 est divisible par 13 donc 1 633 123 612 311 854 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 17 [modifier | modifier le code]

Un nombre a_n…a _i a ₀ est divisible par 17 si et seulement si a_n…a _ane – 5a ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si united nations nombre est divisible par 17, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 51 = (three × 17). Le nombre de départ est divisible par 17 si et seulement si le résultat concluding est 0, 17 ou 34.

Exemples

• iii 723 est divisible par 17 car 372 – v × 3 = 357 et 35 – 5 × vii = 0.
• 5 933 est divisible par 17 motorcar 593 – v × 3 = 578 et 57 – 5 × 8 = 17.

Critère de divisibilité par 19 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par xix si et seulement si a_n…a ₁ + iia ₀ 50'est. Pour voir si un nombre est divisible par 19, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 38 (= two × 19). Le nombre de départ est divisible par 19 si et seulement si le résultat final est 19.

Exemple

6 859 est divisible par xix car 685 + 2 × 9 = 703, 70 + 2 × 3 = 76 et 7 + 2 × half-dozen = 19.

Critère de divisibilité par 21 [modifier | modifier le lawmaking]

Critère immédiat [modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 21 si et seulement southward'il est divisible par vii et par 3.

Lemme de divisibilité par 21 [modifier | modifier le lawmaking]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 21 si et seulement si a_northward…a _ane – iia ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. Cette transformation est la même que la première indiquée cascade la divisibilité par 7 (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Cascade voir si united nations nombre est divisible par 21, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 21. Le nombre de départ est divisible par 21 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple

5 271 est divisible par 21 car

527 – 2 × 1 = 5 25,

52 – 2 × 5 = 42 et

4 – two × ii = 0.

Critère cascade un grand nombre [modifier | modifier le code]

Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de six chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10 ⁿ ± ane » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 23 [modifier | modifier le code]

Première méthode [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 23 si et seulement si a_n…a ₁ + 7a ₀ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 23, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 92 (= iv × 23). Le nombre de départ est divisible par 23 si et seulement si le résultat last est 23, 46 ou 69.

Exemple

3 151 est divisible par 23 machine 315 + seven × 1 = 322 et 32 + 7 × 2 = 46.

Deuxième méthode [modifier | modifier le lawmaking]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 23 si et seulement si a_n…a ₂ + 3 a ₁ a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 322 (= 23 × 14). Le nombre est divisible par 23 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent : 3 151 est divisible par 23 auto 31 + 3 × 51 = 184 et 184 = 8 × 23.

Critère de divisibilité par 27 [modifier | modifier le code]

Cascade savoir si united nations nombre est divisible par 27, on le sépare par tranches de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 27 si et seulement si le nombre considéré au départ l'était.

Exemple

Soit le nombre 68 748 098 828 632 988 661.

On effectue fifty'opération :

68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = four 023.

Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer :

four + 023 = 27 qui est divisible par 27, donc 68 748 098 828 632 988 661 l'est aussi.

Critère de divisibilité par 29 [modifier | modifier le lawmaking]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 29 si et seulement si a_northward…a ₁ + 3a ₀ l'est. Pour voir si united nations nombre est divisible par 29 il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 58 (= 2 × 29). Le nombre de départ est divisible par 29 si et seulement si le résultat final est 29.

Exemple

75 168 est divisible par 29 auto

7 516 + 3 × 8 = seven 540,

754 + 3 × 0 = 754,

75 + 3 × iv = 87 et

viii + 3 × 7 = 29.

Critère de divisibilité par 31 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 31 si et seulement si a_{due north}…a ₁ – 3a ₀ (ou sa valeur absolue) 50'est. Cascade voir si un nombre est divisible par 31, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 31. Le nombre de départ est divisible par 31 si et seulement si le résultat terminal est 0.

Exemple

xv 996 est divisible par 31 motorcar

ane 599 – 3 × 6 = 1 581,

158 – 3 × 1 = 155 et

15 – iii × 5 = 0.

Critère de divisibilité par 37 [modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10 ^northward ± 1 » ci-dessous).

Si le nombre est un nombre à trois chiffres abc, on retranche le plus petit des chiffres pour faire apparaître un ou plusieurs zéros. Si ce nombre contient deux zéros, le nombre de départ n'est pas divisible par 37; si ce nombre vaut 0, le nombre de départ est divisible par 37. Sinon, ce nombre contient un seul zéro, que fifty'on enlève cascade obtenir un nombre à ii chiffres. Si le 0 était en position centrale, il faut cependant retourner ce nombre. Le nombre de départ était divisible par 37 si et seulement si le nombre à deux chiffres l'est (et vaut donc 37 ou 74).

Exemple

925 est divisible par 37 car

le plus petit chiffre est two, on le retranche à chaque chiffre :

925 - 222 = 703, le 0 est central, on retourne le nombre

on obtient 307 et on supprime le 0

le résultat 37 est divisible par 37.

On peut aussi utiliser le critère général de divisibilité : le nombre a_n…a _i a ₀ est divisible par 37 si et seulement si a_n…a _one -elevena ₀ 50'est. Pour voir si united nations nombre est divisible par 37, il suffit de répéter cette transformation. Le nombre de départ est divisible par 37 si et seulement si le reste est un multiple de 37

Exemple

19 388 est divisible par 37 car

1938-8×11=1850

185-0×xi=185 = 37×5

Critère de divisibilité par 39 [modifier | modifier le lawmaking]

Critère immédiat [modifier | modifier le lawmaking]

Un nombre est divisible par 39 si et seulement s'il est divisible par 13 et par 3.

Lemme de divisibilité par 39 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a _i a ₀ est divisible par 39 si et seulement si a_north…a ₁ + 4a ₀ fifty'est. Cette transformation est la même que celle pour la divisibilité par 13. Pour voir si un nombre est divisible par 39, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 78 (= 2 × 39). Le nombre de départ est divisible par 39 si et seulement si le résultat final est 39.

Exemple

4 992 est divisible par 39 car

499 + four × two = 507,

l + four × seven = 78 et

seven + 4 × 8 = 39

Critère pour un grand nombre [modifier | modifier le lawmaking]

Même méthode que cascade 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10 ^{due north} ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 41 [modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 41 [modifier | modifier le lawmaking]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 41 si et seulement si a_n…a ₁ – foura ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 41, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 41. Le nombre de départ est divisible par 41 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple

8 036 est divisible par 41 car

803 – four × six = 779,

77 – four × 9 = 41 et

iv – 4 × 1 = 0.

Critère pour un grand nombre [modifier | modifier le code]

Même méthode que pour 27 mais par tranches de 5 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de ten ⁿ ± ane » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 43 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 43 si et seulement si a_north…a ₂ – 3 a ₁ a ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 215 (= 43 × five). Le nombre est divisible par 43 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple

173 161 est divisible par 43 auto 1731 – iii × 61 = 1 548 et |15 – 48 × 3| = 129 = 43 × 3.

Critère de divisibilité par 47 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 47 si et seulement si a_n…a ₂ + 8 a ₁ a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 846 (= 47 × eighteen). Le nombre est divisible par 47 si et seulement si le résultat last l'est.

Exemple

143 597 n'est pas divisible par 47 machine 1 435 + 8 × 97 = 2 211 et 22 + 8 × 11 = 110 = 2 × 47 + 16.

Critère de divisibilité par 49 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_northward…a ₁ a ₀ est divisible par 49 si et seulement si la somme a_{due north}…a ₁ + 5a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 98 (= 2 × 49). Le nombre est divisible par 49 si et seulement si le résultat last est 49.

Exemple

478515625 est divisible par 49 automobile

47851562 + 5 × 5 = 47851587,

4785158 + 5 × 7 = 4785193,

478519 + 5 × three = 478534,

47853 + 5 × 4 = 47873,

4787 + 5 × 3 = 4802,

480 + five × 2 = 490 et

49 + 5 × 0 = 49.

Critère de divisibilité par 53 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_northward…a ₁ a ₀ est divisible par 53 si et seulement si a_{due north}…a ₂ – ix a ₁ a ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 800. On passe ensuite au second critère de divisibilité : le nombre a_northward…a ₁ a ₀ est divisible par 53 si et seulement si a_northward…a ₁ +sixteen a ₀ l'est. Il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir united nations résultat strictement inférieur à 212 (= 4 × 53). Le nombre de départ est divisible par 53 si et seulement si le résultat final est 53, 106 ou 159.

Exemple

132 023 est divisible par 53 machine 1 320 – ix × 23 = i 113 et |eleven – 9 × 13| = 106 = 2 × 53.

Critère de divisibilité par 59 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a _one a ₀ est divisible par 59 si et seulement si a_northward…a _i + 6a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 118 (= 2 × 59). Le nombre est divisible par 59 si et seulement si le résultat final est 59.

Exemple

ane 185 n'est pas divisible par 59 car 118 + 6 × 5 = 148 et 14 + 6 × 8 = 62.

Critère de divisibilité par 61 [modifier | modifier le lawmaking]

Le nombre a_n…a _ane a ₀ est divisible par 61 si est seulement si a_n…a ₁ – 6a ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 61. Le nombre est divisible par 61 si et seulement si résultat final est 0.

Exemple

5 623 n'est pas divisible par 61 car 562 – 6 × 3 = 544 et 54 – 6 × 4 = 30.

Critère de divisibilité par 67 [modifier | modifier le code]

United nations nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 67 si et seulement si a_northward…a ₂ – 2 a _one a ₀ (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 134 (= two × 67). Le nombre est divisible par 67 si et seulement si le résultat concluding est 0 ou 67.

Exemple

135 541 est divisible par 67 car

1 355 – 41 × 2 = 1 273,

|12 – 73 × ii| = 134 et

|i – 34 × 2| = 67.

Critère de divisibilité par 71 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 71 si et seulement si a_northward…a ₁ – 7a ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 71. Le nombre est divisible par 71 si et seulement si le résultat terminal est 0.

Exemple : 27 253 north'est pas divisible par 71 car

2 725 – seven × 3 = 2 704,

270 – 7 × 4 = 242 et

24 – 7 × 2 = 10.

Critère de divisibilité par 73 [modifier | modifier le lawmaking]

Même méthode que pour xiii mais par tranches de iv chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10 ^northward ± 1 » ci-dessous).

Critère de divisibilité par 79 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_northward…a _ane a ₀ est divisible par 79 si et seulement si a_n…a _ane + eighta ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 158 (= ii × 79). Le nombre est divisible par 79 si et seulement si le résultat final est 79.

Exemple

21 804 est divisible par 79 car

2 180 + 8 × 4 = 2 212,

221 + 8 × 2 = 237 et

23 + 8 × 7 = 79.

Critère de divisibilité par 83 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 83 si et seulement si a_n…a _ane + 25a ₀ 50'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 332 (= 83 × iv). Le nombre est divisible par 83 si et seulement si le résultat final est 83, 166 ou 249.

Exemple

11537 est divisible par 83 motorcar 1153 + vii × 25 = 1328 et 132 + 8 × 25 = 332 et 33 + ii × 25 = 83.

Critère de divisibilité par 89 [modifier | modifier le code]

Le nombre a_n…a ₁ a ₀ est divisible par 89 si et seulement si a_n…a _ane + ixa ₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 178 (= 89 × ii). Le nombre est divisible par 89 si et seulement si le résultat final est 89.

Exemple : 7921 est divisible par 89 auto 792 + nine × 1 = 801 et eighty + nine × ane = 89.

Critère de divisibilité par 97 [modifier | modifier le lawmaking]

Le nombre a_{due north}…a _ane a ₀ est divisible par 97 si et seulement si | a_n…a ₁ – 29a ₀| fifty'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 291 (= 3 × 97). Le nombre est divisible par 97 si et seulement si le résultat final est 0, 97 ou 194.

Exemple

46 657 est divisible par 97 machine

four 665 – 29 × vii = iv 462,

446 – 29 × 2 = 388 et

|38 – 29 × viii| = 194.

Méthode du ruban de Pascal [modifier | modifier le lawmaking]

Cette méthode (voir l'commodity détaillé) permet de tester la divisibilité d'un nombre Northward, généralement écrit en base of operations dix, par n'importe quel entier d. Le principe est de remplacer, dans le nombre N = a_northward 10 ^{due north} + … + a _i10 + a ₀, chaque puissance de ten par son reste r dans la segmentation euclidienne par d (on peut aussi prendre r – d au lieu de r).

Exemples

• Pour d = 7, on peut remplacer 1, ten, 100,etc. par ane, 3, 2, −1, −3, −two, 1, 3, 2, −1, −iii, −2,etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par 7 en base dix est (1, three, 2, −1, −three, −2). Le nombre Northward = a_n…a _one a ₀ est divisible par 7 si et seulement si le nombre suivant l'est :
  a ₀ + 3a _ane + twoa ₂ − a ₃ − 3a ₄ − iia ₅ + a _vi + 3a ₇ + iia ₈ − a ₉… = A + 3B + iiC, avec
  A = a ₀ – a _three + a _six – a ₉…, B = a ₁ – a _four + a ₇ – a _x… et C = a ₂ – a ₅ + a ₈ – a ₁₁…
• Pour d = 13, une clé de divisibilité en base dix est (1, –3, – 4, −1, iii, 4) donc a_n…a _one a ₀ est divisible par 13 si et seulement si le nombre suivant 50'est :
  a ₀ – 3a ₁ – 4a ₂ − a ₃ + iiia ₄ + 4a ₅ + a ₆ – iiia ₇ – 4a ₈ − a _nine… = A – threeB – 4C, avec
  A = a ₀ – a _three + a ₆ – a ₉…, B = a _i – a ₄ + a _seven – a _x… et C = a ₂ – a _five + a ₈ – a ₁₁…

Critère de divisibilité par un facteur de ten ⁿ ± 1 [modifier | modifier le code]

Dans la méthode du ruban, pour certains d, la clé de divisibilité est plus simple lorsqu'on considère Northward comme écrit en base of operations 10 ⁿ pour united nations due north bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base of operations 10 ⁿ sera (one, −1) si d est united nations diviseur de 10 ⁿ + 1, et elle sera simplement (one) si d est un diviseur de 10 ⁿ – ane. On en a vu des exemples cascade la divisibilité par 11 (facteur de 10¹ + 1 et de 10ⁱⁱ – 1) et (pour united nations « grand » nombre) par seven ou 13 (facteurs de 10³ + 1) ou par 27 (facteur de 10³ – ane). En résumé :

• Si d est un diviseur de 10 ⁿ + one, pour savoir si un grand nombre est divisible par d, il suffit de séparer ce nombre par tranches de due north chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par d si et seulement si le nombre considéré au départ l'était. On répète cette transformation autant que faire se peut.

  Exemples

Somme alternée de tranches

Divisibilité par	11	101	7	13	77	91	143	73	137	17	19	133	23	121
Tranches de taille	ane	2	iii					four		8	9		11

• Si d est un diviseur de ten ^{due north} – 1 (ce qui est vrai pour n'importe quel northward si d = 3 ou 9), même principe mais en north'insérant que des + entre les tranches.

  Exemples

Somme simple de tranches

Divisibilité par	11	33	99	27	37	111	41	123	21	39	63	117	81	53	79	31
Tranches de taille	2			3			v		half dozen				ix	13		15

Notes et références [modifier | modifier le lawmaking]

1. ↑ (en) Gustavo Gerald Toja Frachia, « Brief method for determining if a number is divisible past 7 » (version du 26 avril 2007 sur l'Internet Archive).
2. ↑ Le principe sur un exemple est détaillé dans (en) Boris A. Kordemsky(en), The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations, Dover Publications, 2014 (one^re éd. 1971), p. 140, aperçu sur Google Livres.
3. ↑ (en) David Wilson, «Divisibility by 7 is a Walk on a Graph », sur Tanya Khovanova's Math Blog, 11 aout 2009 (consulté le 7 février 2016) .
4. ↑ (en) David Wilson, «Divisibility by 7 is a Walk on a Graph. Ii », sur Tanya Khovanova's Math Blog, 11 aout 2010 (consulté le 7 février 2016) .

• Arithmétique et théorie des nombres

Comment Savoir Si Un Nombre Est Divisible Par 6,

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_crit%C3%A8res_de_divisibilit%C3%A9#:~:text=Un%20nombre%20est%20divisible%20par%206%20si%20et%20seulement%20s,pair%20et%20divisible%20par%203.

Posted by: fordancusesself1995.blogspot.com

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